Musik

Die geometrischen Verhältnisse zwischen den Akkorden machen den Ton, belegt eine Studie amerikanischer Forscher.

Schon vor über 2600 Jahren hatte der griechische Philosoph Pythagoras die Mathematik der Musik untersucht: Er fand heraus, dass sich die grundlegenden Tonschritte und -sprünge durch einfache Zahlenverhältnisse beschreiben lassen. Im 17. Jahrhundert fand der französischer Mönch, Mathematiker und Musiktheoretiker Marin Mersenne die Erklärung: Töne und Akkorde sind Luftschwingungen, die sich verschieden schnell bewegen beziehungsweise gegenseitig überlagern. Vielleicht hat Johann Sebastian Bach Mersennes Ergebnisse gekannt. In jeden Fall stecken hinter seinen Noten die verschiedensten barocken Zahlenspiele.

Eine völlig neue Methode, die Mathematik hinter der Musik zu beschreiben, haben nun die drei Musikprofessoren Clifton Callender, Ian Quinn und Dmitri Tymoczko von den Universitäten Florida, Yale und Princeton entwickelt: Sie übersetzen Musik in moderne Geometrie.

Hierzu ordneten die Wissenschaftler einzelne Musikbausteine in „Familien“ von Akkorden und Tonabfolgen. Jede Familie steht für eine bestimmte mathematische Struktur und lässt sich als Raumpunkt in einem geometrischen Koordinatennetz darstellen. Je nachdem, wie die Musik gestaltet ist, zu welchen Familien ihre Bausteine gehören und wie diese miteinander verwebt sind, ergeben sich die verschiedensten geometrischen Gebilde - Kegel, Pyramiden, eingedellte Ringe und sogar Figuren, für die die Mathematik noch keine Namen kennt.

„Die westliche Musiktheorie kennt viele Werkzeuge, um Harmonien darzustellen und zu untersuchen. Für moderne Zusammenklänge gibt es das nicht“, sagt Dmitri Tymoczko. Traditionell gelten Harmonien als Mehrklänge von Tönen, die auf der Tonskala ganz bestimmte Intervalle weit voneinander entfernt sind. Im Lauf des 20. Jahrhunderts aber haben sich viele Komponisten davon gelöst. Deren Stücke leben oft von Akkorden, deren Einzeltöne direkt nebeneinander liegen - so genannte Dissonanzen oder Missklänge nach angestammter Auffassung. „Egal wie schräg etwas klingt, nach unserem Modell lässt es sich als Punktserie im Raum erfassen. Linien zwischen den Punkten zeigen, wie sich die einzelnen Noten eines Akkords auf dem Weg zum nächsten verändern.“

So können Musikwissenschaftler und Komponisten jede beliebigen Akkorde miteinander vergleichen und die Beziehungen zwischen ihnen aufzeigen. Konzerte ließen sich auf diese Weise sichtbar machen, völlig neue Instrumente könnten entstehen.

Auf bekannten Instrumenten wie etwa dem Klavier kann man jeden Akkord mit vielen verschiedenen Tastenkombinationen spielen. „Für manche musikalische Zwecke aber wäre es gut, wenn für einen bestimmten Akkord jeweils nur ein einziger Punkt gedrückt werden müsste. Möglich ist das zum Beispiel mit einem elektronischen Instrument in Form eines so genannten Möbiusbands, eine Schleife, deren Enden verdreht zusammengeklebt sind. Akkorde mit zwei Tönen formen genau diese Figur im Raum. Bei Druck auf einen beliebigen Punkt des Bands würden immer gleich zwei Töne klingen.“

Trotz aller neuen Möglichkeiten - Melodien zu komponieren, die Jahrhunderte überdauern, wird nach dem Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz weiterhin mehr sein, als Linien zwischen Punkten zu ziehen: „Die Musik ist eine verborgene arithmetische Übung der Seele, die nicht weiß, dass sie mit Zahlen umgeht.“

Wer den mathematisch-musikalischen Übungen in sich auf die Spur kommen und mehr über die Zahlenspiele hinter den Klängen Bach, Mozart oder auch Schönberg erfahren möchte, hat im Laufe des aktuellen „Jahrs der Mathematik“ hierzu viel Gelegenheit. Bis Ende des Jahres lüften Mathematiker, Philosophen und Musiker in ganz Deutschland das ein oder andere Geheimnis hinter den Noten der großen Meister.

Bildquelle:

Dmitri Tymoczko, Princeton University
Vier-Ton-Akkorde im geometrischen Modell (Foto): Die Farben zeigen, wie weit die einzelnen Töne eines Akkordes voneinander entfernt sind. Blau heißt, seine Töne liegen dicht zusammen, wärmere Farben bedeuten, der Sprung zwischen ihnen ist größer.