Mathematik

Jede Kultur hat ihre eigene Rechenart erfunden. Viele darunter waren ungeheuer kompliziert. Am Ende zählt nur eines, haben Ethnomathematiker herausgefunden: Wer das einfachste Rechensystem hat, der beherrscht die Welt. Europa hätte den Zahlenwettkampf fast verloren.

 O b im Kongo oder Papua-Neuguinea: Wenn Eingeborene dort zählen, fangen sie wild an zu zappeln. Die einen zählen die Finger einer Hand ab und gehen dann über die Teile des Arms, des Oberkörpers, mitunter sogar über die Pobacken immer eine Zahl höher; andere behelfen sich mit Augen, Ohren und anderen Gesichtsteilen. Bei 70 ist meist Schluss, mehr gibt diese Ganzkörperzählmethode nicht her. Nur die ganz Schlauen benutzen erst einmal sämtliche zehn Finger, nehmen dann noch die zehn Fußzehen zu Hilfe – und sind damit auf der richtigen Spur: Der Weg in die Neuzeit führt über das Zehnersystem der Finger, einen fast göttlichen Fingerzeig – die Blaupause für die Entwicklung zum modernen Menschen.

Die Kulturen der Erde haben die unterschiedlichsten Rechenwege eingeschlagen, einige endeten in der Sackgasse, viele ergänzten einander, einen Königsweg gab es nicht. Das Jahr der Mathematik, mit dem die Bundesregierung den Spaß am Rechnen fördern will, wirft ein Schlaglicht auf diese verästelte Historie. Denn die Vielfalt der Methoden, mit denen die Menschheit Mathematik betrieben hat, ist schlicht faszinierend. Dies ins Blickfeld zu rücken, bemüht sich die noch in den Kinderschuhen steckende Ethnomathematik. Sie zeigt aber nicht nur die ethnischen Unterschiede, sondern auch die Gemeinsamkeiten: Wer das bessere Rechensystem besaß, der hatte die Macht.

Bestes Beispiel dafür ist Babylonien, die erste große Hochkultur. Zwischen Euphrat und Tigris begannen vor 5000 Jahren die Landwirtschaft und die Städte zu blühen, hier ist der Keim unserer Zivilisation. Der Bau von Palästen und Bewässerungskanälen sowie der Warenhandel wären ohne ein fortschrittliches Zahlensystem undenkbar gewesen. Tausende Tontafeln sind überliefert, auf denen die Rechnungen des Alltags dokumentiert sind. Sie basieren auf nur zwei Zeichen: strichförmigen Keilen für die Ziffern 1 bis 9 sowie dreiecksförmigen Haken für die 10. Drei Haken und dahinter vier Keile drücken die Zahl 34 aus. Das scheint einfach – doch schnell wird es labyrinthisch.

Denn die Babylonier hatten kein Dezimal-, sondern ein Sexagesimalsystem: Grundlage ihres Rechnens war statt unserer vertrauten 10 die 60, was auf ein altes Gewichtssystem zurückgeht. Hatten sie beim Abzählen irgendwelcher Gegenstände 60 erreicht, ritzten sie in die Lehmtafel nicht einen sechsten Haken, sondern einen einzelnen Keil – wie bei einer 1. Die 61 waren zwei Keile mit einem Zwischenraum, während die Keile der 62 sich berührten. Höherstellige Additionen waren eine Wissenschaft für sich, und Ethnomathematiker sind sich einig: Damit das funktionierte, mussten Kopf und Bauch zusammenarbeiten – viele Rechnungen lösten unsere Altvordern eher intuitiv.

Die Rechenkunst der Babylonier war das Ergebnis von Bemühungen, die vor 30 000 Jahren in Afrika begonnen hatten, wo der Steinzeitmensch Kerben in Hölzer schnitt und damit wahrscheinlich den Urkalender erfand. Den nächsten rechentechnischen Durchbruch erzielten 2000 Jahre nach den Babyloniern die Griechen: Ihnen verdanken wir das erste brauchbare (auf 10 basierende) Dezimalsystem, welches übersichtlich gegliedert wurde und das Rechnen mit großen Zahlen enorm vereinfachte. 5 Striche wurden zu einem umgedrehten U zusammengefasst, 10 zu einem Dreieck, 100 zu einem H, 1000 zu einem X und 10 000 zu einem M.

Dennoch: Mit diesem System komplexe Alltagsrechnungen durchzuführen, das blieb auch noch zu Zeiten der Römer eine Schinderei. Ihre fast 1000-jährige Herrschaft gründete rechnerisch und logistisch auf den leicht abgewandelten Zahlen der Griechen. Die römischen Zahlen und den Umgang damit mussten deutsche Schüler noch in den 1950er Jahren büffeln, was eine Ahnung davon vermittelte, womit sich römische Verwaltungen, Legionen und Händler tagtäglich plagten: mit fast endlosen Kolonnen von Buchstaben, bestehend aus I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). So war die Jahreszahl 1949 ein Riemen aus 15 Buchstaben: MDCCCCXXXXVIIII. Dieser ließ sich in der »subtraktiven Schreibung« auf sieben Buchstaben reduzieren, was den Vorgang nur unerheblich erleichterte: 1000+1000-100+50-10+10-1 = MCMXLIX.

Noch zäher wurde es bei höheren Zahlen. Eine 100 verzehnfacht sich, wenn man hinter ihrem Buchstaben einen Strich und den gespiegelten Buchstaben schreibt, also CI ; entsprechend dieser Regel heißt CCI  die Verhundertfachung und
CCCI  die Vertausendfachung von 100. Wollten die Römer eine 1 000 000 schreiben, machten sie einen Rahmen um ein X, was die Multiplikation der 10 mit 100 000 ausdrückte. Selbst das Ziffernblatt einer Uhr mit römischen Zahlen birgt Eigenarten: Während die 9 nie ausgeschrieben wird, sondern subtraktiv in Gestalt der IX, erscheint die 4 immer ausgeschrieben als IIII – selbst auf modernen Chronometern. Die subtraktive IV wäre gotteslästerlich gewesen, weil der Name des Jupiter mit den beiden Buchstaben begann.
Ist das Römerreich vielleicht auch unter der Last seiner bizarren Zahlenwelt zugrunde gegangen? Oder anders gefragt: Hätte das zersplitterte mittelalterliche Europa, in dem die römischen Zahlen fortlebten, nicht leicht von einem Staat mit einem effektiveren Rechensystem erobert werden können? Das ist eine spannende Streitfrage, die sich Kulturanthropologen immer wieder stellen. Die Forschungsergebnisse der Ethnomathematik liefern solchen Disputen frische Munition. So war die Zählweise der Inka von bisher unbekannter Leistungsfähigkeit. Mit einer Quipu, einem System aus Schnüren und Knoten, konnte das südamerikanische Indianervolk sein über 4000 Kilometer ausgedehntes Imperium in den Anden mustergültig verwalten.

Eine Quipu besteht aus einer Hauptschnur, an der bis zu 1500 Nebenschnüre von 20 bis 50 Zentimeter Länge hängen. Die Knoten an jeder Nebenschnur waren – nach dem uns vertrauten Zehnersystem – zu drei Gruppen zusammengefasst: zuunterst die Einer, darüber die Zehner, oben die Hunderter. Eine Schnur mit neun, drei und sechs Knoten, von unten bis zur Hauptschnur aufsteigend, kodiert demnach die Zahl 639. Eng nebeneinander hängende Schnüre bilden eine Addition ab – so übersichtlich, dass das Ergebnis fast ablesbar ist. Speziell geschulte Verwaltungsbeamte kodierten mit diesem kunstvollen Geflecht Informationen aus der Wirtschaft, dem Steuersystem und dem Militär. Es waren die Quipu, die die Expansion des Inkareichs um das Hundertfache seines ursprünglichen Einflussbereichs ermöglichten und es im 15. Jahrhundert zur strahlendsten Hochkultur aller Zeiten machten.

Und: Die Bergindianer Südamerikas hatten bereits vor den Abendländern das scheinbar Unmögliche gedacht – die Existenz des Nichts, das sich in der 0 niederschlug. Diese brachten sie zum Ausdruck, indem sie in ihrem Quipu auf der Nebenschnur den Knoten für die Zehner einfach ausließen: Die Zahl 609 etwa stellten sie dar durch neun Knoten unten und sechs Knoten oben – die Mitte blieb frei. Das toppten die Nachbarn der Inka, die im zentralamerikanischen Urwald siedelnden Maya, sogar noch: Das einfache »Nichts« reichte ihnen nicht; für ihre Leidenschaft, die Astronomie und Perfektionierung der Zeitrechung, benötigten sie zwei Nullen. Noch komplizierter: Sie rechneten mit Händen und Füßen und operierten zählerisch in einem unübersichtlichen Zwanziger-System – in diesem »Vegisimalsystem« wird die Basis nicht verzehnfacht, sondern verzwanzigfacht, um zum nächsthöheren Stellenwert 400 zu gelangen.

Was für die Maya tägliche Praxis war, verursacht selbst gestandenen Ethnomathematikern Schwindel. Die Indios unterschieden zwischen 30 verschiedenen Symbolen für die 0 – je nachdem, wo und wie sie eingesetzt wurde. Dies kombinierten sie mit einem Zahlensystem aus Punkten und Balken, das beim Überschreiten von 19 mit Glyphen fortgesetzt wurde. Der Gipfel rechnerischer Komplexität: Während das bürgerliche Sonnenjahr aus 360 plus fünf Schalttagen bestand, war das religiöse Jahr schon nach 260 Tagen zu Ende. Da jedes Datum sich aus beiden Angaben zusammensetzte, driftete der Kalender immer weiter auseinander, bis nach 52 Sonnenjahren beide Jahreszyklen wieder übereinstimmten. Aber: Der Kalender der Maya war der genaueste aller Völker – präziser als der 1582 eingeführte Gregorianische Kalender.

Zu diesem Zeitpunkt waren die raffinierten Rechensysteme der Maya und Inka bereits Makulatur, zerstört von den spanischen Eroberern und christlichen Missionaren, die die Schnüre und Gravuren für das Werk des Teufels hielten. Dabei enthielten sie das Potenzial, das marode römische Zahlenwerk abzulösen. So aber quälten sich die Europäer mit dem Erbe Roms durchs dunkle Mittelalter, bis endlich die Erlösung kam – aus dem Orient.
Die rechengewandten Inder machten sich in den ersten nachchristlichen Jahrhunderten daran, die steinzeitliche Kerbholzmethode und die daraus geborenen Buchstabenbandwürmer zu überwinden.

Als Erstes ersetzten sie die Striche durch eine abstraktere Symbolik, nämlich die Ziffern von 1 bis 9. Um das Jahr 600 herum erfanden die indischen Rechenmeister dann eine bis dahin im Abendland unbekannte Ziffer, die 0, und komplettierten damit das Zehnersystem. Bei diesem kühnen Sprung in geistiges Neuland fungierte die orientalische Religion als Gedankenbrücke: Im Buddhismus ist das Nirwana, das Nichts, der Idealzustand für den Menschen. Das Sanskrit-Wort »Sunya« (Leere) ist die Wurzel von »Zero«, der Null im Englischen.

In einem dritten Schritt wurden je zehn Einer (100) zu neuen Gruppen zusammengefasst: den Zehnern (101), Hundertern (102), Tausendern (103) und so weiter. Während die Römer für diese übergeordneten Zahlengruppen immer wieder neue Symbole (X, C, M) einführen mussten, beglückten die Inder die Welt mit einem knappen, absolut logischen und in sich geschlossenen System. Der Stellenwert ist in dem ganzen Zahlzeichen enthalten und vergrößert sich um je einen Zehnerschritt von links nach rechts. CCCXXXIII (100+100+100+
10+10+10+1+1+1) beispielsweise schrumpft also zu 333
(3 Hunderter + 3 Zehner + 3 Einer).

Das ist nach 30 000 Jahren härtester Geistesarbeit die Siegesformel. Als der Islam sich ausbreitete, übernahm im 9. Jahrhundert die arabische Welt die neue indische Zahlen- und Rechenlehre. Sie beflügelte die Technik und machte es möglich, dass Laternen in der Nacht die Städte Nordafrikas erhellten und Kanalisationen für Sauberkeit sorgten – während Europas Städte Kloaken ähnelten. Die muslimischen Führer drängten weiter, im Gepäck die neuen Errungenschaften. Sie überrannten die Bollwerke Europas, setzten sich in Spanien fest, wurden erst an den Pyrenäen gestoppt. Resteuropa blieb unbesetzt und profitierte dennoch von den arabischen Zahlen, wie sie jetzt hießen. Die unfreiwillige Entwicklungshilfe sickerte nordwärts, erreichte Deutschland, ab 1530 lehrte der Rechenmeister Adam Ries den Umgang mit den neuen Zahlen. Das vereinfachte Rechnen damit wird die Grundlage für die Explosion der Naturwissenschaften, die industrielle Revolution und die Expansion des Abendlandes über den Planeten.

Wie auch immer die Bewertung: Ohne dieses Zahlenwerk wäre die Welt eine andere, wir andere Menschen! Bleibt noch die Frage: Werden Rechenkünstler unser Zahlensystem erneut umwerfen – oder steckt dahinter ein kosmisch-universales Prinzip? Sollten eines Tages Außerirdische diesen Planeten besuchen, könnte ein Blick auf ihre Hände Klarheit schaffen.